share
1. Введение и результаты
Модели ветвящихся случайных систем являются существенной частью общей теории случайных процессов. Растущий интерес к этим моделям обусловлен многими факторами. Первой из этих причин, которая стала основным толчком к созданию теории ветвящихся случайных моделей, является возможность оценить с их помощью вероятности выживания популяции однотипных индивидуумов; см. [4], [8] и [9]. Среди всевозможных случайных траекторий всех моделей ветвящихся систем есть такие, которые длятся бесконечно долго. В случае модели Гальтона-Ватсона, класс траекторий не вырождающихся в далеком будущем, образует так называемые Q-процессы; см. [8] и [10]. В случае марковских ветвящихся случайных систем с непрерывным временем аналогичная модель называемая марковский Q-процесс, впервые определена в работе [6].
В работе [5] доказан дифференциальный аналог основной леммы теории Марковских ветвящихся случайных систем непрерывного времени. С помощью этой леммы в работе [6] исследованы структурные свойства марковских Q-процессов. В работе [10] установлена глубокая связь между Q-процессами и ветвящимися системами Гальтона-Ватсона с иммиграцией. Там же доказана предельная теорема для совместных распределений состояний и общих состояний в Q-процессе.
В данной работе нас интересует задача оценки структурного параметра марковского Q-процесса. Для оценки этого параметра предлагается несмещенная оценка типа Лотка-Нагаева и исследуются асимптотические поведения ее дисперсии.
Обозначим через множество натуральных чисел и пусть . Случайной величиной обозначим размер популяции в момент в однородно-непрерывной во времени Марковской ветвящейся случайной системе (МВС) с интенсивностью ветвления . Каждая частица в этой системе имеет экспоненциально распределенный случайный период жизни со средним значением и она в конце своей жизни производит потомков с вероятностью . Соответствующая интенсивности ветвления q-матрица, , с компонентами
| (1.1) |
где
полностью характеризует дальнейшую эволюцию МВС; см. [1]. Определенная выше система образует разложимую и однородно-непрерывную во времени цепь Маркова с пространством состояний, состоящим из двух классов: , здесь . При этом состояние является поглощающим, а – класс возможных существенных сообщающихся состояний.
Введем в рассмотрение переходные вероятности
Эти вероятности равны -кратной свертке распределения , т.е.
В свою очередь, с помощью q-матрицы (1.1) можно вычислить, что вероятности допускают следующее локальное представление:
| (1.2) |
где – знак Кронекера; см. [4].
Пусть и рассмотрим условные вероятности
где величина обозначает момент вырождения МВС. В работе [6] доказано, что
| (1.3) |
где
а число – вероятность исчезновения одной частицы претерпевающей превращения по закону интенсивности такая, что
Нетрудно проверить, что при каждом . Вероятностная мера определяет новый процесс развития популяционной системы – непрерывно-однородную неразложимую марковскую цепь с пространством всевозможных состояний , называемый Марковский Q-процесс (МQП) . По определению
так что МQП можно интерпретировать как ‘‘долгоживущая’’ МВС; см. [7]. Отсюда, с помощью (1.2), находим следующее локальное представление вероятностей :
с плотностями вероятностей перехода
Следовательно, производящая функция (ПФ)
полностью определяет МQП, здесь есть инфинитезимальная ПФ, порождающая МВС , то есть . В этом обозначении (см. [6])
Известно, что регулирующим параметром для МВС вступает величина и по свойству траекторий выделяется три типа процессов, характеризующихся его значением. МВС называется докритическим, если , критическим, если , и надкритическим, если . Соответственно, эволюция МQП управляется (регулируется) по существу структурным параметром и известно, что при и если ; см. [6] и литературу в ней. В соответствие с случаем дискретного времени [8, с. 59, Теорема 2], является положительно возвратным если и, является невозвратным, если . Таким образом, различается два типа МQП в зависимости от значений параметра . Сказанное наглядно утверждается в следующей предельной теореме, по предельным свойствам локальной вероятности .
Теорема A [6]. Пусть имеется МQП , порожденный инфинитезимальной ПФ с первым конечным моментом .
-
Если , то
(1.4) -
Если , то
(1.5) где постоянная
Отметим, что при , положительная постоянная представляет собой константу Колмогорова-Севастьянова из теории докритических МВС (); см. [4].
Введем теперь в рассмотрение ПФ распределения состояний МQП
Как было доказано в [6],
| (1.6) |
где и
Отсюда, путем дифференцирования в точке из получаем
| (1.7) |
и
| (1.8) |
где
Ввиду всего вышеизложенного, поставим задачу оценить параметр по наблюденным значениям . Из формулы (1.6) следует, что
где . Отсюда получаем
Последнее равенство позволит нам выписать уравнение
с погрешностью , имеющей нулевое среднее: . Учитывая это уравнение, предлагаем следующую оценку для , при известном :
Оценка является несмещенной для параметра . Действительно, согласно формуле полной вероятности и однородности МQП, с учетом (1.7)
Следующие теоремы характеризуют дальнейшие свойства оценки .
Теорема 1.
Пусть . Если , то
Теорема 2.
Пусть . Если , то
В следующем параграфе, наши рассуждения по части доказательства вышеизложенных теорем основываются на методе, использованном в работе А.В.Нагаева [3].
2. Доказательство Теорем 1 и 2
Согласно формуле полной вероятности, имеем
Далее, силу однородность МQП, получим
| (2.1) |
Доказательство Теоремы 1.
Из (2), учитывая (1.8) для случая , находим
| (2.2) |
Согласно определению ПФ , с учетом того, что , первую сумму в (2) можно преобразовывать к следующему виду:
Далее имеем
| (2.3) |
Очевидно, что как вероятностная ПФ монотонно возрастает по и, следовательно, нетрудно проверить, что подынтегральная функция в (2) также является монотонно возрастающей. Причем легко убедиться, что она имеет конечные значения в концах области интегрирования:
Так что, интеграл в (2) сходится равномерно по .
Далее, используем следующее представление для ПФ из [6]:
Ввиду последнего равенства в условиях теоремы, с учетом формулы (1.3), функцию можно преобразовывать к следующему виду:
| (2.4) |
здесь и далее знак производной понимается по переменной .
Теперь вспомним дифференциальный аналог Основной Леммы теории критических МВС () из [5]. Делаем замену переменной в выражении так, чтобы , и . Тогда очевидно, и
| (2.5) |
В свою очередь, из многочисленных источников известно, что сама Основная Лемма утверждает справедливости разложения
| (2.6) |
равномерного для всех ; см. [4, p. 74]. Из вида (2.6) непосредственно убедимся, что
| (2.7) |
для всех . Тогда ввиду (2.5), при следующая оценка очевидна:
| (2.8) |
Преобразование в левой части (2.7) приводит нас к соотношению
чего рассмотрим как асимптотическое уравнение относительно , не забывая при этом, что . Продолжая рассуждение убедимся, что для того чтобы левая часть стремилась к 1, достаточно чтобы порядок убывания бесконечно малой величины был . Так что, для сохранения закономерности сказанных рассуждений, необходимо положить , где любая постоянная. Не нарушая общности, и с желанием упрощения формул, с этого место мы выбираем . Тогда, стандартные вычисления нам дает следующее соотношение:
| (2.9) |
Выбираем теперь величину . Сравнительный анализ соотношений (2.8) и (2.9) показывает, что нам необходимо положить . Пусть, далее .
Теперь с помощью соотношений (2.4) и (2.9), оценим интеграл в правой части (2). Следуя методу из работы [3] (см. также [2]), положим
| (2.10) |
Делая замену в интеграле , при , имеем
При оценке последнего интеграла учитываем утверждения (1.2), (1.4) и того факта, что и, после стандартных аналитических рассуждений, находим
| (2.11) |
Чтобы оценить , достаточно воспользоваться монотонностью функции . Пользуясь соотношением (1.2), (1.4) и (2.5), учитывая при этом соотношений и , получаем следующую оценку:
Рассмотрев последнюю оценку вместе с равенствами (2), (2.10) и оценкой (2.11), получаем
| (2.12) |
Приступим к оценке второй суммы в (2). Используя рассуждение из равенств (2), находим
| (2.13) |
здесь
Используя опять рассуждение из равенств (2) и, учитывая теперь тот факт, что , последнее равенство преобразуем к виду
где как и прежде,
Подынтегральная функция в правой части равенства (2.13) имеет конечные значения в концах области своего определения. Действительно, используя правило Лопиталя вычислим, что
Кроме этого, в силу монотонности функции
Следовательно
Последнее утверждает, что функция монотонно возрастает. Она же ограничена в области интегрирования. Отсюда следует что, интеграл в правой части (2.13) сходится. Оценим этот интеграл. Ссылаясь на формулу (1.3), легко находим
Следовательно,
| (2.14) |
где
Итак, оценке подлежат интегралы и . При этом мы по-прежнему придерживаемся замены переменной . Для нашей ближайшей цели нам понадобится следующее асимптотическое соотношение, которого можно получить с помощью разложения (2.6), сохраняя при этом прежние обозначения:
| (2.15) |
Элементарное рассуждение показывает, что функция монотонно возрастает по , причем она имеет конечные значения в концах этой области:
Поэтому интеграл в правой части (2.14) сходится равномерно по . Следуя предыдущему рассуждению, положим
| (2.16) |
Делая, опять, замену теперь в интеграле , при этом принимая во внимание (2.15) и , получаем следующее асимптотическое соотношение:
Отсюда, используя формулу (1.3) и учитывая тот факт, что , с учетом утверждения (1.4), находим
| (2.17) |
В свою очередь, ввиду монотонности функции и соотношения (2.15),
| (2.18) |
| (2.19) |
Займемся теперь оценкой интеграла . Запишем его в виде
Используя правило Лопиталя, находим
Так что исследуемый интеграл сходится по . Пусть
| (2.20) |
Заменой в интеграле , с учетом монотонности функции , мы получим следующую цепочку соотношений:
| (2.21) |
Доказательство Теоремы 2.
Рассмотрим преобразования Харриса-Севастьянова
Нетрудно заметить, что представляет собой инфинитезимальную ПФ, которая, в свою очередь, порождает докритическую МВС с средним значением интенсивностей и пространством возможных состояний . А ПФ распределения потомков одной частицы этой системы
где и – распределение вероятностей числа поколений одной частицы в МВС , порожденной инфинитезимальной ПФ .
В работе [6, Теорема 7] доказано, что если , то
для всех , где предельная ПФ порождает инвариантную меру для надкритических МВС. Ссылаясь на [11], мы убедимся в том, что сходимость верна и для системы . Следовательно, в наших обозначениях, при справедливо следующее асимптотическое соотношение:
| (2.24) |
где
В свою очередь, используя формулу Тейлора вблизи точки , с учетом тот факт, что , мы легко находим следующее локально-асимптотическое представление:
здесь по-прежнему . Отсюда, полагая так, чтобы и , получаем теперь следующую асимптотическую формулу: