On structural parameter estimation of the Markov Q-process

03/31/2022
by   Azam Imomov, et al.
Mail.Ru Group
0

In the paper we consider a stochastic model which called Markov Q-processes that forms a continuous-time Markov population system. Markov Q-processes are defined as stochastic Markov branching processes with trajectories continuing in the remote future. Estimation of the structural parameter of the Markov Q-process is the main goal of this paper. To estimate this parameter, an unbiased estimator of the Lotka-Nagaev type is proposed. An asymptotic expansion of the variance of this estimator is found.

READ FULL TEXT VIEW PDF

Authors

page 1

page 2

page 3

page 4

05/24/2021

Unbiased Estimation of the Gradient of the Log-Likelihood for a Class of Continuous-Time State-Space Models

In this paper, we consider static parameter estimation for a class of co...
03/25/2016

Markov substitute processes : a new model for linguistics and beyond

We introduce Markov substitute processes, a new model at the crossroad o...
06/01/2022

Fisher information of correlated stochastic processes

Many real-world tasks include some kind of parameter estimation, i.e., d...
11/22/2021

Conditioning continuous-time Markov processes by guiding

A continuous-time Markov process X can be conditioned to be in a given s...
06/24/2021

Abstraction of Markov Population Dynamics via Generative Adversarial Nets

Markov Population Models are a widespread formalism used to model the dy...
08/01/2017

Prediction and Generation of Binary Markov Processes: Can a Finite-State Fox Catch a Markov Mouse?

Understanding the generative mechanism of a natural system is a vital co...
02/13/2020

Spatial birth-death-move processes : basic properties and estimation of their intensity functions

Spatial birth-death processes are generalisations of simple birth-death ...
This week in AI

Get the week's most popular data science and artificial intelligence research sent straight to your inbox every Saturday.

1. Введение и результаты

Модели ветвящихся случайных систем являются существенной частью общей теории случайных процессов. Растущий интерес к этим моделям обусловлен многими факторами. Первой из этих причин, которая стала основным толчком к созданию теории ветвящихся случайных моделей, является возможность оценить с их помощью вероятности выживания популяции однотипных индивидуумов; см. [4], [8] и [9]. Среди всевозможных случайных траекторий всех моделей ветвящихся систем есть такие, которые длятся бесконечно долго. В случае модели Гальтона-Ватсона, класс траекторий не вырождающихся в далеком будущем, образует так называемые Q-процессы; см. [8] и [10]. В случае марковских ветвящихся случайных систем с непрерывным временем аналогичная модель называемая марковский Q-процесс, впервые определена в работе [6].

В работе [5] доказан дифференциальный аналог основной леммы теории Марковских ветвящихся случайных систем непрерывного времени. С помощью этой леммы в работе [6] исследованы структурные свойства марковских Q-процессов. В работе [10] установлена глубокая связь между Q-процессами и ветвящимися системами Гальтона-Ватсона с иммиграцией. Там же доказана предельная теорема для совместных распределений состояний и общих состояний в Q-процессе.

В данной работе нас интересует задача оценки структурного параметра марковского Q-процесса. Для оценки этого параметра предлагается несмещенная оценка типа Лотка-Нагаева и исследуются асимптотические поведения ее дисперсии.

Обозначим через множество натуральных чисел и пусть . Случайной величиной обозначим размер популяции в момент в однородно-непрерывной во времени Марковской ветвящейся случайной системе (МВС) с интенсивностью ветвления . Каждая частица в этой системе имеет экспоненциально распределенный случайный период жизни со средним значением и она в конце своей жизни производит потомков с вероятностью . Соответствующая интенсивности ветвления q-матрица, , с компонентами

(1.1)

где

полностью характеризует дальнейшую эволюцию МВС; см. [1]. Определенная выше система образует разложимую и однородно-непрерывную во времени цепь Маркова с пространством состояний, состоящим из двух классов: , здесь . При этом состояние является поглощающим, а – класс возможных существенных сообщающихся состояний.

Введем в рассмотрение переходные вероятности

Эти вероятности равны -кратной свертке распределения , т.е.

В свою очередь, с помощью q-матрицы (1.1) можно вычислить, что вероятности допускают следующее локальное представление:

(1.2)

где – знак Кронекера; см. [4].

Пусть и рассмотрим условные вероятности

где величина обозначает момент вырождения МВС. В работе [6] доказано, что

(1.3)

где

а число – вероятность исчезновения одной частицы претерпевающей превращения по закону интенсивности такая, что

Нетрудно проверить, что при каждом . Вероятностная мера определяет новый процесс развития популяционной системы – непрерывно-однородную неразложимую марковскую цепь с пространством всевозможных состояний , называемый Марковский Q-процесс (МQП) . По определению

так что МQП можно интерпретировать как ‘‘долгоживущая’’ МВС; см. [7]. Отсюда, с помощью (1.2), находим следующее локальное представление вероятностей :

с плотностями вероятностей перехода

Следовательно, производящая функция (ПФ)

полностью определяет МQП, здесь есть инфинитезимальная ПФ, порождающая МВС , то есть . В этом обозначении (см. [6])

Известно, что регулирующим параметром для МВС вступает величина и по свойству траекторий выделяется три типа процессов, характеризующихся его значением. МВС называется докритическим, если , критическим, если , и надкритическим, если . Соответственно, эволюция МQП управляется (регулируется) по существу структурным параметром и известно, что при и если ; см. [6] и литературу в ней. В соответствие с случаем дискретного времени [8, с. 59, Теорема 2], является положительно возвратным если и, является невозвратным, если . Таким образом, различается два типа МQП в зависимости от значений параметра . Сказанное наглядно утверждается в следующей предельной теореме, по предельным свойствам локальной вероятности .

Теорема A [6]. Пусть имеется МQП , порожденный инфинитезимальной ПФ с первым конечным моментом .

  • Если , то

    (1.4)
  • Если , то

    (1.5)

    где постоянная

Отметим, что при , положительная постоянная представляет собой константу Колмогорова-Севастьянова из теории докритических МВС (); см. [4].

Введем теперь в рассмотрение ПФ распределения состояний МQП

Как было доказано в [6],

(1.6)

где и

Отсюда, путем дифференцирования в точке из получаем

(1.7)

и

(1.8)

где

Ввиду всего вышеизложенного, поставим задачу оценить параметр по наблюденным значениям . Из формулы (1.6) следует, что

где . Отсюда получаем

Последнее равенство позволит нам выписать уравнение

с погрешностью , имеющей нулевое среднее: . Учитывая это уравнение, предлагаем следующую оценку для , при известном :

Оценка является несмещенной для параметра . Действительно, согласно формуле полной вероятности и однородности МQП, с учетом (1.7)

Следующие теоремы характеризуют дальнейшие свойства оценки .

Теорема 1.

Пусть . Если , то

Теорема 2.

Пусть . Если , то

В следующем параграфе, наши рассуждения по части доказательства вышеизложенных теорем основываются на методе, использованном в работе А.В.Нагаева [3].

2. Доказательство Теорем 1 и 2

Согласно формуле полной вероятности, имеем

Далее, силу однородность МQП, получим

(2.1)
Доказательство Теоремы 1.

Из (2), учитывая (1.8) для случая , находим

(2.2)

Согласно определению ПФ , с учетом того, что , первую сумму в (2) можно преобразовывать к следующему виду:

Далее имеем

(2.3)

Очевидно, что как вероятностная ПФ монотонно возрастает по и, следовательно, нетрудно проверить, что подынтегральная функция в (2) также является монотонно возрастающей. Причем легко убедиться, что она имеет конечные значения в концах области интегрирования:

Так что, интеграл в (2) сходится равномерно по .

Далее, используем следующее представление для ПФ из [6]:

Ввиду последнего равенства в условиях теоремы, с учетом формулы (1.3), функцию можно преобразовывать к следующему виду:

(2.4)

здесь и далее знак производной понимается по переменной .

Теперь вспомним дифференциальный аналог Основной Леммы теории критических МВС () из [5]. Делаем замену переменной в выражении так, чтобы , и . Тогда очевидно, и

(2.5)

В свою очередь, из многочисленных источников известно, что сама Основная Лемма утверждает справедливости разложения

(2.6)

равномерного для всех ; см. [4, p. 74]. Из вида (2.6) непосредственно убедимся, что

(2.7)

для всех . Тогда ввиду (2.5), при следующая оценка очевидна:

(2.8)

Преобразование в левой части (2.7) приводит нас к соотношению

чего рассмотрим как асимптотическое уравнение относительно , не забывая при этом, что . Продолжая рассуждение убедимся, что для того чтобы левая часть стремилась к 1, достаточно чтобы порядок убывания бесконечно малой величины был . Так что, для сохранения закономерности сказанных рассуждений, необходимо положить , где любая постоянная. Не нарушая общности, и с желанием упрощения формул, с этого место мы выбираем . Тогда, стандартные вычисления нам дает следующее соотношение:

(2.9)

Выбираем теперь величину . Сравнительный анализ соотношений (2.8) и (2.9) показывает, что нам необходимо положить . Пусть, далее .

Теперь с помощью соотношений (2.4) и (2.9), оценим интеграл в правой части (2). Следуя методу из работы [3] (см. также [2]), положим

(2.10)

Делая замену в интеграле , при , имеем

При оценке последнего интеграла учитываем утверждения (1.2), (1.4) и того факта, что и, после стандартных аналитических рассуждений, находим

(2.11)

Чтобы оценить , достаточно воспользоваться монотонностью функции . Пользуясь соотношением (1.2), (1.4) и (2.5), учитывая при этом соотношений и , получаем следующую оценку:

Рассмотрев последнюю оценку вместе с равенствами (2), (2.10) и оценкой (2.11), получаем

(2.12)

Приступим к оценке второй суммы в (2). Используя рассуждение из равенств (2), находим

(2.13)

здесь

Используя опять рассуждение из равенств (2) и, учитывая теперь тот факт, что , последнее равенство преобразуем к виду

где как и прежде,

Подынтегральная функция в правой части равенства (2.13) имеет конечные значения в концах области своего определения. Действительно, используя правило Лопиталя вычислим, что

Кроме этого, в силу монотонности функции

Следовательно

Последнее утверждает, что функция монотонно возрастает. Она же ограничена в области интегрирования. Отсюда следует что, интеграл в правой части (2.13) сходится. Оценим этот интеграл. Ссылаясь на формулу (1.3), легко находим

Следовательно,

(2.14)

где

Итак, оценке подлежат интегралы и . При этом мы по-прежнему придерживаемся замены переменной . Для нашей ближайшей цели нам понадобится следующее асимптотическое соотношение, которого можно получить с помощью разложения (2.6), сохраняя при этом прежние обозначения:

(2.15)

Элементарное рассуждение показывает, что функция монотонно возрастает по , причем она имеет конечные значения в концах этой области:

Поэтому интеграл в правой части (2.14) сходится равномерно по . Следуя предыдущему рассуждению, положим

(2.16)

Делая, опять, замену теперь в интеграле , при этом принимая во внимание (2.15) и , получаем следующее асимптотическое соотношение:

Отсюда, используя формулу (1.3) и учитывая тот факт, что , с учетом утверждения (1.4), находим

(2.17)

В свою очередь, ввиду монотонности функции и соотношения (2.15),

(2.18)

Из (2.16)–(2), получим оценку

(2.19)

Займемся теперь оценкой интеграла . Запишем его в виде

Используя правило Лопиталя, находим

Так что исследуемый интеграл сходится по . Пусть

(2.20)

Заменой в интеграле , с учетом монотонности функции , мы получим следующую цепочку соотношений:

(2.21)

Далее, свойства же монотонности функции нам дает

Следовательно,

что свидетельствует о монотонности функции . Используя это свойство, нетрудно оценить второй интеграл в равенстве (2.20):

(2.22)

Рассмотрев вместе (2.20)–(2), с учетом (2.16), заключаем

(2.23)

Наконец, собирая вместе равенства (2), (2.14) и оценки (2.12), (2.19), (2.23), мы получаем требуемое утверждение, что завершает доказательство Теоремы 1. ∎

Доказательство Теоремы 2.

Рассмотрим преобразования Харриса-Севастьянова

Нетрудно заметить, что представляет собой инфинитезимальную ПФ, которая, в свою очередь, порождает докритическую МВС с средним значением интенсивностей и пространством возможных состояний . А ПФ распределения потомков одной частицы этой системы

где и – распределение вероятностей числа поколений одной частицы в МВС , порожденной инфинитезимальной ПФ .

В работе [6, Теорема 7] доказано, что если , то

для всех , где предельная ПФ порождает инвариантную меру для надкритических МВС. Ссылаясь на [11], мы убедимся в том, что сходимость верна и для системы . Следовательно, в наших обозначениях, при справедливо следующее асимптотическое соотношение:

(2.24)

где

В свою очередь, используя формулу Тейлора вблизи точки , с учетом тот факт, что , мы легко находим следующее локально-асимптотическое представление:

здесь по-прежнему . Отсюда, полагая так, чтобы и , получаем теперь следующую асимптотическую формулу: