Combined use of mixed and hybrid finite elements method with domain decomposition and spectral methods for a study of renormalization for the KPZ model

01/10/2019
by   Ciro Diaz, et al.
0

The focus of this work is the numerical approximation of time-dependent partial differential equations associated to initial-boundary value problems. This master dissertation is mostly concerned with the actual computation of the solution to nonlinear stochastic evolution problems governed by Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) models. In addition, the dissertation aims to contribute to corroborate, by means of a large set of numerical experiments, that the initial-boundary value problem with periodic boundary conditions for the equation KPZ is ill-posed and that such equation needs to be renormalized. The approach to discretization of KPZ equation perfomed by means of the use of hybrid and mixed finite elements with a domain decomposition procedure along with a pertinent mollification of the noise. The obtained solution is compared with the well known solution given by the Cole-Hopf transformation of the stochastic heat equation with multiplicative noise. We were able to verify that both solutions exhibit a good agreement, but there is a shift that grows as the support of the mollifier decreases. For the numerical aproximation of the stochastic heat equation we use a state-of-the-art numerical method for evaluating semilinear stochastic PDE , which in turn combine spectral techniques, Taylor's expantions and particular numerical treatment to the underlying noise. Furthermore, a state-of-the-art renormalization procedure introduced by Martin Hairer is used to renormalize KPZ equation that is validated with nontrivial numerical experiments.

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1.1 Motivação da pesquisa

Nos últimos anos muitos progressos foram obtidos para uma melhor compreensão da equação KPZ. Um exemplo notável foi o trabalho seminal de Martin Hairer (2013), no mesmo, o autor introduziu novos conceitos de aproximação de quantidades estocásticas que culminou em uma nova noção de solução da equação KPZ. Desta maneira é de se esperar que novos procedimentos numéricos devam ser igualmente investigados. Resultados neste sentido podem ser encontrados nos trabalhos de Arnulf Jentzen [53, 52, 50, 51] onde uma inovadora estratégia para conectar métodos espectrais e expansões em serie de Taylor é acompanhada de uma rigorosa teoria de aproximação.

Existem poucos trabalhos apresentando experimentos numéricos que mostrem a eficácia dos processos de renormalização introduzidos em ([43]) ou em ([36]). É por isso que decidimos enfatizar neste trabalho a apresentação de um conjunto representativo de experimentos numéricos em concordância com os resultados teóricos reportados na literatura. Em particular os métodos numéricos empregados serão também descritos.

Com base na revisão bibliográfica realizada até o presente momento, métodos de elementos finitos clássicos ou métodos de elementos finitos mistos e híbridos, não aparecem relacionados à resolução numérica da equação KPZ. Por isso, consideramos pertinente a proposta de explorar o desempenho desse tipo de metodologia na aproximação da solução da equação KPZ, acompanhada de um processo de renormalização que permita uma reinterpretação adequada das soluções.

1.2 Objetivos específicos e proposta da dissertação

Este trabalho visa mostrar experimentalmente que a equação KPZ (clássica) deve ser renormalizada para fazer sentido, e que as soluções desta equação renormalizada se aproximam à transformada de Hopf-Cole da solução da equação estocástica do calor com ruído branco multiplicativo. Também experimentalmente, mostraremos que a escolha do mollifier não altera o resultado anterior. Isso permite concluir que o uso combinado de teoria de aproximação com métodos numéricos pertinentes via analise numérica é uma ferramenta matemática relevante para a compreensão da equação KPZ e de outras equações diferenciais estocásticas relacionadas. Para tal fim procedemos na seguinte ordem.

  1. [label=()]

  2. Estudo e implementação de algoritmos de aproximação para equações estocásticas semilineares baseados em métodos espectrais combinados com expansões de Taylor. Estes métodos serão utilizados na aproximação da solução da equação estocástica do calor com ruído multiplicativo.

  3. Adaptar e implementar o método de elementos finitos mistos e híbridos com decomposição de domínio (EFMH-DD) para ser aplicado no problema de valor inicial e de condições de contorno para a equação KPZ com ruído branco amolecido.

  4. Medir experimentalmente o desempenho dos métodos discutidos para obter indícios de que os algoritmos estejam aproximando corretamente as soluções desejadas, fazendo uso dos itens (a) e (b).

  5. Validar experimentalmente os resultados teóricos referentes à conexão entre a transformada de Hopf-Cole da solução da equação estocástica do calor com ruído branco multiplicativo e o limite de um processo de renormalização aplicado à equação KPZ, com base nos itens (a), (b) e (c).

1.3 Resultados

Lista-se o conjunto de resultados atingidos, face aos objetivos desta dissertação de mestrado:

  1. [label=()]

  2. Foram implementados os códigos Milstein.m, LordRougemont.m e EulerGalerkinSemimplícito.m para modelar computacionalmente os métodos numéricos de Milstein, Lord-Rougemont e Euler-Galerkin-semi-implícito, respetivamente. Estes códigos foram utilizados na aproximação das soluções de equações estocásticas semilineares.

  3. Foi feito um estudo numérico para validar os códigos implementados em problemas onde tem-se a solução conhecida (ver [65]). Um estudo de erro revelou que este decresce à medida que aumentamos o número de funções base na expansão da solução. Além disso, foi recuperado via transformada de Cole-Hopf, o comportamento previsto da rugosidade para o processo de deposição balística.

  4. Foi feita uma construção formal de uma nova formulação numérica via método de elementos finitos mistos e híbridos com decomposição de domínio (EFMH-DD) para um modelo KPZ com ruído branco amolecido.

  5. Foi implementado o código EFMH_KPZ.m para modelar computacionalmente o método EFMH-DD e foi usado em um estudo numérico para reprodução de resultados apresentados em [65], onde foi considerado um modelo KPZ determinístico. Nesse contexto, também foram realizados alguns experimentos numéricos com o objetivo de medir o desempenho do algoritmo.

  6. Foi implementado um código que compara a solução aproximada da equação KPZ (amolecendo o ruído) do item (c) e (d) com a transformada de Hoph-Cole da solução aproximada da equação estocástica do calor do item (a). Os experimentos mostraram a similaridade entre os dois perfis quando consideramos a mesma realização do ruído branco.

  7. Foi feito um estudo numérico representativo para verificar que a conexão entre as duas soluções do item (c) não depende do mollifier utilizado.

  8. Foi aplicado o processo de renormalização proposto em [43] para o modelo KPZ e foram realizados experimentos numéricos nos quais aproximamos a solução como em (d). Estes experimentos forneceram evidências de que tal processo atenua a divergência provocada pelo termo e que o processo limite independe da escolha do mollifier.

1.4 Organização do trabalho

No Capítulo 2, apresentamos algumas definições e resultados a serem utilizados ao longo deste trabalho. No Capítulo 3, fazemos um breve estudo da equação KPZ, detalhando aspectos teóricos necessários para a construção dos métodos propostos. No Capítulo 4, fazemos um estudo de alguns métodos numéricos para equações diferenciais estocásticas semilineares onde o caso de maior interesse é a equação estocástica do calor com ruído branco multiplicativo. No Capítulo 5, introduzimos o método de elementos finitos mistos e híbridos com decomposição de domínio adaptado para ser aplicado na equação KPZ determinística. Também apresentamos os resultados obtidos nas simulações onde utilizamos o código EFMH_KPZ.m e comparamos estes com outros reportados na literatura considerando uma equação KPZ determinística. No Capítulo 6, mostramos experimentalmente que a transformada de Hopf-Cole das soluções numéricas da equação estocástica do calor obtidas usando os métodos introduzidos no Capítulo 4, se aproximam à solução da equação KPZ renormalizada com ruído branco amolecido. Para amolecer o ruído, utilizamos um mollifier, que em nosso caso será uma função real, de classe e com suporte compacto. Além disso, verificamos experimentalmente que o limite do processo de renormalização existe quando o diâmetro do suporte vá para zero e que independe da escolha do mollifier. No final deste capitulo implementamos o processo de renormalização proposto em [43] e apresentamos alguns resultados numéricos obtidos aplicando o método de elementos finitos mistos e híbridos adaptado para a equação renormalizada. Por fim, no Capítulo 7, são reportadas as conclusões e perspectivas desta dissertação de mestrado.

2.1 Notações, definições e teoremas

Definição 2.1.1.

(Norma Hilbert-Schmidt) Sejam e espaços de Hilbert separáveis com normas e . Para uma base ortonormal definimos a norma de Hilbert-Schmidt como,

(2.1.1)

O conjunto é um espaço de Banach munido da norma de Hilbert-Schmidt. Um operador é conhecido como um operador de Hilbert-Schmidt.

Ao longo deste trabalho vamos considerar somente espaços de probabilidade filtrados que vamos abreviar escrevendo .

Definição 2.1.2.

(variáveis aleatórias) Seja um espaço de probabilidade e um espaço de medida. Então, é uma variável aleatória que toma valores em se é uma função medível de em . Para enfatizar a -álgebra sobre , podemos escrever que é uma variável aleatória -mensurável. O valor observado para um dado é chamado de uma realização de .

Neste trabalho vamos trabalhar com variáveis aleatórias reais, ou seja onde é a -algebra de Borel.

Definição 2.1.3.

(valor esperado) Seja uma variável aleatória que toma valores num espaço de Banach sobre o espaço de probabilidade . Se é integrável, a expectativa de é

(2.1.2)

a integral de respeito da medida de probabilidade .

Definição 2.1.4.

(covariância) A covariância entre duas variáveis aleatórias reais e define-se como

(2.1.3)
Definição 2.1.5.

(processo estocástico). Seja um conjunto , um espaço mensurável , e um espaço de probabilidade . Chamaremos de processo estocástico que toma valores em , um conjunto de variáveis aleatórias que tomam valores em .

Definição 2.1.6.

(segunda ordem). Um processo estocástico é de segunda ordem se para cada , a função de meia é definida como e a função de co-variância é definida por para todo .

Definição 2.1.7.

(processo Gaussiano). Um processo estocástico de segunda ordem é Gaussiano se segue uma distribuição gaussiana multivariada para cada e cada .

Definição 2.1.8.

(movimento Browniano). Dizemos que é um Movimento Browniano se é um processo gaussiano com trajetórias continuas, meia e função de covariância .

Definição 2.1.9.

(ponte Browniano). Dado um movimento Browniano chamamos de Ponte Browniano ao processo em cuja distribuição é obtida condicionando a distribuição de por condições de contorno em e .

Definição 2.1.10.

(ruído branco escalar). Chamamos de ruído branco escalar ao processo estocastico onde cada é uma variável aleatória com distribuição normal. Além disso a função de covariância é:

(2.1.4)

Uma maneira simples de descrever um ruído branco é

(2.1.5)

onde são variáveis aleatórias com distribuição normal e é uma base ortonormal de .

Definição 2.1.11.

(ruído branco bidimensional). Chamamos de ruído branco à distribuição que toma valores em um campo gaussiano bidimensional (i.e. ) com função de correlação,

(2.1.6)

Uma maneira simples de descrever um ruído branco é

(2.1.7)

onde são ruídos brancos escalares e é uma base ortonormal de .

Definição 2.1.12.

(processo -Wiener) Seja um espaço de probabilidade filtrado. Um processo estocástico que toma valores em é um processo -Wiener se:

  • a.s. 111a.s. significa almost sure. Escolhemos neste trabalho manter a abreviatura a.s. ao longo do todo o texto.

  • é uma função continua para cada

  • é - adaptado e é independente de para cada e

  • para todo .

Podemos provar que o processo -Wiener pode ser escrito como:

(2.1.8)

onde são movimentos brownianos escalares [52, 38]. Dizemos que um processo -Wiener é cilíndrico quando .

Definição 2.1.13.

(equação semilinear). É uma equação estocástica da forma:

(2.1.9)

onde é um processo -Wiener e os operadores e são, em geral, não lineares.

Definição 2.1.14.

(solução forte) Um processo previsível é chamado solução forte de (2.1.9) quando satisfaz:

(2.1.10)
Definição 2.1.15.

(solução fraca) Um processo previsível é chamado solução fraca de (2.1.9) quando satisfaz:

(2.1.11)

e de (4.1.6) temos que a segunda integral pode ser escrita como:

(2.1.12)
Definição 2.1.16.

(solução mild) Um processo previsível é chamado solução mild de (2.1.9) quando satisfaz:

(2.1.13)

3.1 Modelos de crescimento

Os fenómenos crescimento de superfícies são influenciados por muitos fatores, a maioria deles indistinguíveis se levadas em conta apropriadas escalas de tempo e espaço. Porém, com base na física (observação e entendimento do modelo real físico que ocorre) os cientistas sempre esperam que exista um pequeno número de leis básicas fundamentais que os determinam, ou melhor, que caracterizam de forma única e geral a morfologia e a dinâmica de crescimento. Com este fim, o estudo do modelo de deposição balística tem ajudado a encontrar as propriedades essenciais de várias classes de fenômenos de crescimento, ver e.g., [10, 68].

3.1.1 Deposição balística (balistic deposition (Bd))

No modelo de deposição balística (BD), uma partícula cai de algum ponto aleatório de uma altura maior que a altura máxima da superfície e segue uma trajetória vertical até chegar à superfície onde fica aderida. Nesta versão simples do modelo, as partículas que chegam se fixam à primeira partícula que tocam. Assim, em um primeiro momento, estamos considerando a superfície inicial como sendo plana e com longitude . Definimos a superfície como sendo o conjunto de partículas que ocupam a maior altura em cada coluna. A Figura 3.1 fornece uma ideia geométrica dessa modelagem.

Figura 3.1: Modelo discreto de deposição balística. Extraído de [7].

Duas quantidades de interesse em nosso modelo são a altura média e a rugosidade [69, 56, 7]. A altura média pode ser considerada como a média aritmética de todas as alturas, enquanto a rugosidade é a soma dos desvios médios quadráticos entre as alturas e a altura média, dividida pelo comprimento do intervalo,

(3.1.1)
(3.1.2)

Se o ritmo de deposição (chegada de partículas à superfície por unidade de tempo) é constante, não é difícil demonstrar (ver [7]) que o ritmo médio de crescimento é,

(3.1.3)

Os resultados experimentais indicam que existe um tempo crossover. A saber, um tempo crossover que separa dois regimes (ver Figura 3.2) onde a rugosidade tem comportamentos distintos dados pelas equações (3.1.4  e  3.1.5),

(3.1.4)
(3.1.5)
Figura 3.2: Modelo simples de deposição balística. Extraído de [7].

Quando varia, também varia o tempo de crossover ao estado de saturação e então tem-se,

(3.1.6)

Na Figura 3.3 se mostra a variação da rugosidade no tempo para distintos valores de .

Figura 3.3: Efeito de crossover e rugosidade. Resultados experimentais para o modelo BD. Extraído de [7].

Os expoentes , e não são independentes e podemos provar que a rugosidade cumpre a chamada relação de escala de [33], ou seja,

(3.1.7)

onde a função para e para (o parâmetro representa o termo ). Aproximando o ponto crossover (ver também e.g., [41, 34, 74]) pela esquerda, segundo (3.1.4), temos que e, aproximando pela direita e usando (3.1.5), temos que . Portanto, temos que e utilizando (3.1.6) obtemos a lei de escala,

(3.1.8)

As curvas de rugosidade e os tempos de crossover, mostrados na Figura 3.3, agora colapsam na curva , considerando o reescalamento (3.1.7), como mostra a Figura 3.4.

Figura 3.4: Reescalamento que leva à colisão das curvas de rugosidade obtidas para quatro escolhas diferentes de no modelo BD. Extraído de [7].

A lei de escala (3.1.8) é válida para todo processo de crescimento que obedece a relação de escala (3.1.7). A Tabela 3.1 sumariza os conceitos expostos nesta seção. Cumpre mencionar que assim temos em mãos uma forma simples e efetiva de testar o desempenho do método proposto, ou seja, se as aproximações estiverem, de fato, corretas então seremos capazes de recuperar essas curvas de crescimento a partir do pós-processamento das soluções numéricas calculadas. É claro que isso não caracteriza qualquer forma rigorosa de demonstração matemática. Porém teremos um bom argumento formal para dar um suporte de motivação para perseguir estudos mais avançados.

Média
Rugosidade
Expoente de crescimento
Expoente de rugosidade
Expoente dinâmico
Relação de escala
lei de escala
Tabela 3.1: Resumo das principais grandezas associadas ao modelo de deposição balística que serão utilizadas neste trabalho. Extraído de [7].

3.1.2 Correlações

Uma propriedade a ressaltar dos modelos BD é a presença de correlações sobre a superfície em crescimento. Isso significa que os locais na superfície não evoluem de forma independente, mas dependem das suas vizinhanças. Cada nova partícula que chega à interface se fixa na primeira partícula que encontra e isto faz com que o crescimento tenha uma componente lateral como mostra a Figura 3.1. Embora este processo de crescimento seja local, a informação sobre a altura em cada local propaga-se globalmente. A distância sobre a qual as alturas estão relacionadas é chamada de comprimento de correlação e denota-se por . Sendo que os pontos da superfície no início do processo não estão correlacionados, mas começam a ficar mais e mais relacionados, e dado que é limitado por , podemos deduzir que quando , então toda a superfície está correlacionada e o processo chegou ao equilíbrio, i.e.,

(3.1.9)

Nesse contexto, sabendo que no equilíbrio , e substituindo por obtemos,

(3.1.10)

3.1.3 Deposição Aleatória (random deposition (Rd))

O modelo de deposição aleatória (RD) é muito simples, mas é muito útil para introduzir a ideia de associar a um modelo discreto uma equação no contínuo. O ideia mecânica do modelo RD é similar do modelo BD só que neste caso as partículas descem até fixar na maior altura na direção vertical de descida, como mostra a Figura 3.5.

Figura 3.5: Modelo discreto de deposição aleatória. Extraído de [7].

Neste caso todas as posições na superfície são não correlacionadas e cada altura cresce com probabilidade . A probabilidade de uma coluna ter altura , após a deposição aleatória de partículas, pode ser calculada explicitamente. Assim, isso explica o crescimento da rugosidade para este modelo, i.e., que cresce indefinidamente dado por com . A independência entre os crescimentos das alturas em cada posição são a causa de que o processo não apresenta um estado de saturação e, portanto, os coeficientes e ficam indefinidos.
Vamos associar uma equação estocástica contínua que descreve o modelo. Como o modelo é discreto, vamos considerar um amolecimento da superfície de tal forma que tenha sentido esta aproximação para escalas pequenas. Atendendo às caraterísticas do modelo RD teremos equação geral,

(3.1.11)

onde é o número de partículas que chegam na posição no tempo , levando em conta que o processo é aleatório, podemos reescrever o modelo,

(3.1.12)

onde é o número médio de partículas que chegam no ponto e é a aleatoriedade. Em geral é um ruído branco, ou seja, uma função que para cada ponto tem distribuição normal com média zero e variância,

A solução da equação (3.1.12) pode ser calculada explicitamente por,

(3.1.13)
(3.1.14)

Os momentos de são e de onde temos que,

(3.1.15)

Assim, chegamos ao mesmo expoente de escala .

3.1.4 Deposição aleatória com difusão

No modelo RD as partículas que chegavam à superfície se fixavam no ponto de máxima altura na direção de decrescimento. Neste novo modelo permitiremos que as partículas se difundam até atingir o ponto de menor altura, onde permanecerão fixadas. Este modelo com difusão faz com que a superfície seja mais suave. Além disso, é claro que os pontos da superfície estarão mais correlacionados. É valido mencionar, ainda, que resultados experimentais reportados em ([31]) mostram que os coeficientes de crescimento para este modelo são,

(3.1.16)

Da mesma forma que fizemos no exemplo anterior, vamos associar o modelo discreto com uma equação estocástica contínua. Neste caso a equação geral toma a forma,

(3.1.17)

Para a derivação da equação, vamos utilizar algumas leis do crescimento que deve cumprir a solução (ver [7]), como por exemplo,

  1. Invariância por translações no tempo.

  2. Invariância por translações na direção do crescimento.

  3. Invariância por translações na direção perpendicular ao crescimento.

  4. Simetria de inversão e rotação com respeito ao eixo do crescimento.

Fazendo expansão em série de Taylor de e levando em conta as condições de simetria antes mencionadas, podemos eliminar alguns termos da série. Também não levamos em conta os termos de ordem inferior, ficando apenas com os mais relevantes para obter a chamada equação de Edward-Wilkinson (EW) introduzida em ([27] e [16]), i.e.,

(3.1.18)

A equação (3.1.18) apenas tem sentido para valores pequenos de . O termo difusivo provoca a reorganização das partículas na interface compensando de certo modo os efeitos da aleatoriedade provocada pelo ruído . No caso em que a superfície estiver se movendo com uma certa velocidade , o termo difusivo deve ser agregado à equação,

(3.1.19)

Para achar os coeficientes , e deste processo podemos utilizar o argumento de escala ou simplesmente resolver a equação via transformada de Fourier. Vamos optar pela primeira forma. Consideremos a transformação de escala,

Substituindo as relações anteriores em (3.1.18), e levando em conta a forma que tais relações “escalam” com o ruído branco, obtemos:

(3.1.21)

Para garantir a invariância, a equação (3.1.21) não pode depender de . Isto define a escolha dos coeficientes,

(3.1.22)

A similaridade dos mecanismos de difusão entre o modelo e a solução da equação de Edward- Wilkinson (3.1.18) mostram, junto à similaridade dos expoentes achados experimentalmente (3.1.16) e os calculados (3.1.22), que o modelo e a equação EW pertencem à mesma classe de universalidade, que é diferente da classe do modelo RD.

3.1.5 Kardar-Parisi-Zhang

Até agora identificamos duas classes de universalidade diferentes para modelos de crescimento: a classe a que pertence o modelo RD e a função estocástica asociada (3.1.12), e a classe à que pertence o modelo de deposição aleatória com difusão e a equação estocástica associada (3.1.18). Para o modelo balístico as simulações numéricas realizadas em [18] e [68] sugerem as seguintes predições para os expoentes:

(3.1.23)

As predições anteriores indicam que este modelo pertence a uma terceira classe de universalidade e que, portanto, não deve ser descrito pelas equações associadas aos modelos anteriores RD ou EW. O modelo de deposição balística apresenta, como característica que o distingue dos anteriores, o crescimento lateral. Na Figura 3.6 se mostra o efeito do crescimento lateral de uma superfície que cresce por deposição balística.

Figura 3.6: Crescimento lateral em deposição balística. Extraído de [7].

No caso de escalas muito grandes, onde o modelo pode ser analisado no contínuo, o crescimento acontece localmente na direção do vetor normal à superfície. Precisaremos de uma nova equação estocástica associada a este modelo. Para tal fim vamos generalizar a equação EW. Uma forma de derivar o termo que determina o crescimento lateral é considerando uma linearização da superfície em torno do ponto . Dada uma pequena variação no tempo poderíamos aproximar a variação da altura no ponto sabendo que a variação no sentido do vetor normal é . A Figura 3.7 mostra as considerações geométricas para obter a relação

Figura 3.7: Ideia geométrica da derivação do termo não linear. Extraído de [54].

Dividindo a equação anterior por e tomando o limite quando chegamos em . Agora fazemos expansão em série de Taylor da função em torno do ponto zero e a avaliamos em . Assim temos que .

Isto sugere a presença do termo na nova equação refletindo o crescimento lateral. Acrescentando este termo na equação EW obtemos a equação KPZ [54],

(3.1.24)

Claro que há um problema com esta derivação. Para que a equação faça sentido, o valor de tem que estar perto de zero, mas na realidade este valor é muito grande. Então, nós teríamos que subtrair um termo muito grande que reflete as pequenas variações de escala.

Mesmo assim, usando esta “inocente derivação”, encontramos campos não triviais [56], [46] e [7].

A equação KPZ rapidamente tornou-se um modelo protótipo fundamental para a modelagem matemática da dinâmica de crescimento de diversos processos em diferentes áreas [10, 32, 43]. Em Biologia, a KPZ é útil para modelar o crescimento de colónias de bactérias como foi mostrado nos trabalhos [26] e [62]. A Figura 3.8 ilustra um exemplo do crescimento dessas colônias.

Figura 3.8: Crescimento de uma colónia de bactérias com rugosidade compacta. Extraído de [26].

A equação KPZ também é útil na modelagem matemática de frentes de fogo. Em [77], os resultados de um experimento físico em laboratório, baseado na queima de uma folha de papel, ajudam a predizer o comportamento de um incêndio florestal. A Figura 3.9 ilustra a evolução da frente de fogo em experimento de queima de uma folha de papel.

Figura 3.9: Foto ilustrando um segmento de uma folha de papel queimando. A parte transversal mede cerca de 9 cm. Extraído de [77].

Na Física também existem diversos fenômenos de crescimento que podem ser modelados pela equação KPZ, por exemplo, a deposição de partículas sobre uma superfície com certa geometria. Em [18] e [58], encontramos resultados experimentais que corroboram com o anterior. As Figuras 3.10 e 3.11 ilustram alguns destes fenómenos físicos.

Figura 3.10: Partículas de neve que caem sobre uma janela de cristal. Extraído de [18].
Figura 3.11: Partículas esféricas com diâmetros aleatórios, normalmente distribuídos, que chegam a uma superfície e rolam até a colisão com outras duas partículas. Extraído de [58].

Coeficientes da equação KPZ

Pode ser demonstrado ([7]) que os coeficientes , e são coerentes com os valores obtidos nos experimentos (3.1.23). Mostraremos que podemos reduzir a analise à escolha particular , e para a qual a equação KPZ toma a forma

(3.1.25)

a qual chamaremos de equação KPZ canônica. Consideremos a mudança de escala,

(3.1.26)

de onde temos , e . O ruído branco também rescala,

(3.1.27)

onde a igualdade significa que os dois campos aleatórios têm a mesma distribuição. Substituindo as relações anteriores em (3.1.25) e dividimos por obtemos,

(3.1.28)

Claramente podemos tomar agora , e e assim recuperamos a equação KPZ (3.1.24) a partir da equação KPZ canônica (3.1.28).

Podemos agora então tentar achar um reescalamento,

(3.1.29)

mediante o qual esperamos observar algum comportamento não trivial para a equação (3.1.28) quando em escalas grandes para o tempo e o espaço.

Se fixamos , o fato de que a solução seja localmente Browniana [69], faz com que,

(3.1.30)

Então a equação fica,

(3.1.31)

Para evitar a divergência no termo não linear tomamos,

(3.1.32)

3.1.6 Solução de Hopf-Cole

Percebemos que a equação (3.1.25) tem um grande problema. O termo não-linear pode não fazer sentido. Vemos que o termo não-linear precisa de um tipo de renormalização não finita. Portanto, seria mais honesto escrever a equação como,

(3.1.33)

Em [9] os autores propuseram que a solução correta da equação KPZ poderia ser obtida da seguinte forma: A equação estocástica do calor com ruído branco multiplicativo é:

(3.1.34)

Esta equação (3.1.34) deve ser interpretada no sentido de Itô, em tal caso o problema de valor inicial e de contorno é bem posto e para um dado inicial razoável teremos que . Bertini e Giacomi propuseram que,

(3.1.35)

é a solução correta da equação KPZ. Existem várias razões que apoiam a anterior:

  1. Se for uma função suave, (3.1.35) seria a solução de (3.1.25). Para verificar isto basta substituir (3.1.35) em (3.1.34). Isto é chamado, simplesmente, a transformação de Hopf-Cole.

  2. No caso que for um ruído branco, poderíamos amolecer a solução de (3.1.34) utilizando como mollifier , ou seja,

    (3.1.36)

    Definamos . Então pela formula de Itô temos,

    (3.1.37)

    Para o primeiro termo, podemos calcular para uma função suave com suporte compacto utilizando a isometria de Itô,

    que tende a zero quando pela continuidade de . Agora calculamos o último termo. Definindo , temos que , é uma nova aproximação da identidade. O último termo é,

    Como estamos no equilíbrio são incrementos Brownianos e podemos fazer um cálculo de variação quadrática para obter,

    Então

    (3.1.38)

    Assim obtemos nossa primeira forma precisa de (3.1.33).

  3. Suponha que, no lugar de amolecer a solução de (3.1.35), amolecemos o ruído branco no espaço, utilizando ,

    Como tal operação é linear, e sendo Gaussiana com média zero e covariância,

    onde,

    assim, em particular temos que,

    Seja a solução da equação estocástica do calor com ruído amolecido,

    Não é difícil provar que uniformemente em conjuntos compactos, e como para podemos definir,

    e converge para . Pela fórmula de Itô obtemos,

    (3.1.39)

    Comparando (3.1.38) com (3.1.39) teria sentido pensar que no limite as soluções poderiam coincidir.

  4. A solução de Hopf-Cole é obtida aproximando a equação KPZ pela energia livre de polímeros aleatórios dirigidos, e pela função de alturas de exclusão assimétrica [9, veja Section 3.12]. Este limite fracamente assimétrico é esperado para uma ampla classe de sistemas com uma simetria ajustável.

  5. A solução de Hopf-Cole tem os expoentes que foram preditos em [61]. Podemos também obter algumas das flutuações preditas [40], [72], [71].

Diante do exposto, as evidências de que a transformada de Hopf-Cole da solução da equação estocástica do calor é a solução da equação KPZ são esmagadoras. A dificuldade está em encontrar uma definição apropriada para (3.1.24) para fazer com que as soluções coincidam. Este problema foi resolvido por Martin Hairer; para os leitores interessados em mais detalhes sobre esse assunto, indica-se a referência [43].

4.1 Derivação dos métodos

De aqui em diante vamos supor que sejam válidas todas as hipóteses para que as definições seguintes façam sentido:

Suposição 4.1.1.

(Operador Linear A) Seja um conjunto de números reais positivos e seja uma base ortonormal de . O operador é dado por:

(4.1.1)

para cada onde . O operador linear é fechado em e define um semigrupo analítico para .

Suposição 4.1.2.

(Desvio F) O operador é um operador infinitamente Frechet-diferenciável e para cada .

Suposição 4.1.3.

(Difusão G) O operador é infinitamente Frechet-diferenciável e os operadores e são da classe Hilbert-Schmidt (2.1.1). Além disso existe uma família de números reais e números reais , e tais que:

para cada , a cada .

Suposição 4.1.4.

(Valor inicial) Seja um mapeamento mensurável com para algum .

Proposição 4.1.5.

Se as suposições (4.1.1),(4.1.2),(4.1.3) e (4.1.4) são satisfeitas então existe um único processo estocástico previsível com para tal que:

(4.1.2)

A demonstração pode ser encontrada em [50].

Vamos enfatizar que estamos trabalhando com um problema de valor inicial com condições de contorno periódicas onde e , para a equação semilinear:

(4.1.3)

onde é um espaço de Hilbert que em nosso caso tomaremos como sendo , os operadores , e satisfazem as suposições (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) e é um processo -Weiner cilíndrico. As aproximações são entendidas no sentido da seguinte norma:

(4.1.4)

É claro que a equação estocástica do calor com ruído branco multiplicativo é um caso particular da equação (4.2.1) quando fazemos ,  e :

(4.1.5)

Vamos construir o processo -Weiner como em (2.1.12). Um processo -Weiner cilíndrico é também chamado de ruído branco já que possui as propriedades deste último. Esta vai ser de fato a caracterização de ruído branco que vamos considerar ao longo deste trabalho. Então, temos que para cada o processo - Weiner vai ter a forma:

(4.1.6)

onde são movimentos Brownianos escalares. As funções vão ser as autofunções do operador . Para discretizar truncamos a série (4.1.6) no valor que vai coincidir com o número de funções a serem consideradas na expansão da aproximação da solução e com o número de elementos na partição no espaço (dependendo do tipo de solução que estejamos levando em consideração, forte, fraca ou mild).

4.1.1 Esquemas baseados na solução forte

O método de diferenças finitas pode ser facilmente adaptado a SPDE. Para ilustrar isto consideremos a equação semiliniar (2.1.9) com condições de contorno de Dirichlet homogéneas. Onde estamos considerando parâmetros , , um termo da reação , e é um processo -Wiener em . Introduzimos os pontos da malha para e . Seja a aproximação em diferenças finitas de , resultante da aproximação em diferenças centradas para o Laplaciano. Isto é e a solução de,

(4.1.7)

com e . O método das diferenças finitas é adaptável a outras condições de contorno, por exemplo periódicas, alterando e . Agora podemos escolher uma discretização no tempo para obter o sistema de equações algébrico associado. Assim por exemplo, derivamos o esquema de Euler Maruyama semi-implícito,

(4.1.8)

com e .

4.1.2 Esquemas baseados na solução fraca

Para a aproximação de Galerkin da equação estocástica de evolução (2.1.9) devemos introduzir um espaço de dimensão finita e consideramos a projeção ortogonal sobre . Então estamos procurando um processo definido por,

(4.1.9)

com dado inicial . Ou seja, estamos considerando a solução fraca (2.1.12) da equação (2.1.9). A aproximação de Galerkin também satisfaz,

(4.1.10)

onde . Para discretizar no tempo podemos aproximar por para onde estamos chamando de a . Dado que é de dimensão finita temos que a equação (4.1.9) é uma SODE e podemos aplicar o método de Euler semi-implícito com passo de tempo para obter o algoritmo iterativo,